Equilíbrio do Ponto Material

 

        Considera-se que um ponto material está em equilíbrio quando, num dado referencial, a resultante das forças aplicadas é nula.

 

    1)    Utilizaremos o método das projeções para os exercícios resolvidos.

  

         Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das forças são nulas.

2)          Método da linha poligonal das forças

 

      Por ser nula a resultante, a linha poligonal é fechada.

  Exemplo:

 

   a) Um ponto material em equilíbrio sob ação de três forças

 

b) A representação da linha poligonal dessas forças é fechada.

 

 

 

Condições de equilíbrio

 

      SFRX = 0

 

     SFRY= 0

 

Exemplos de corpo(s) suspenso(s)

 

Dados:  m = 2,0 kg e g = 10 m/s².

 

Modelo I – Corpo suspenso por um fio ideal. Determine a tração no fio da figura 1.

 

Procedimento:

 

            1)      Represente as forças peso (P) e a tração no fio (T) .

            2)      Calcule a força peso, utilizando P = m.g.

            3)      Corpo em equilíbrio: T = P.

 

Resolução:

 

1) Representação das forças.

 

 

 

2) P = m. g = 2. 10 = 20 N

 

3) T = 20 N

 

Modelo II – Corpo suspenso por 2 fios ideais de mesmo comprimento, conforme a figura.

Procedimento:

            1) Represente as forças peso (P) e a tração nos fios ( T1 e T2 ) .

            2) Calcule a força peso.

            3)  T1 = T2 = T, pois os fios são paralelos.

            4) O corpo em equilíbrio, a força peso é dividida igualmente nos fios T1 = T2 = T = P/2.

              

Resolução:

 

1) Representação das forças.

 

2) P = m. g

   P = 2. 10 = 20 N

 

3) T1 = T2 = T

 

4) T1 = T2 = T = 20/2 = 10 N     T1 = T2 = 10N

 

 

Modelo III -  Corpo suspenso por 2 fios homogêneos de mesmo comprimento com ângulos iguais conforme a figura. Determine as trações T1 e T2 nos fios 1 e 2.

 

 Procedimento:

           

            1) Adote o sistema cartesiano e represente as forças peso (P) e as trações nos fios (T1 e T2).

            2) Calcule a força peso.

            3) Faça as projeções das forças T1 e T2 nos eixos x e y.

            4) Represente as projeções no sistema cartesiano.

            5) O corpo em equilíbrio: SFRX = 0 e SFRY= 0.

             6) Resolver o sistema de equações.

 

Resolução:

 

1)Representação das forças nos eixos x e y.

 

2) P = m. g   P = 20 N

 

3) as projeções:

 

3a) T1     

 

T1x = T1.cos 30º;

 

T2y = T2.sen 30º.

 

3b) T2

 

       

     T2x = T2.cos 30º;

 

     T2y = T2.sen 30º.

 

3c) P



 

       Px = 0;

     Py = 20 N.

 

 

 

 4) Representação das projeções.

5) Condições de equilíbrio:

5a) eixo x

      SFRX = 0

               T1x = T2x

T1. cos30º = T2.cos30º

        T1 = T (I)

 5b) eixo y

       SFRY= 0

                  T1y + T2y = P

T1.sen30º + T2.sen30º = P

      T1. 0, 5 + T2. 0, 5 = 20 (II)

 

 

 6) Resolvendo o sistema de equações.

    Substituindo I em II

    T2. 0,5 + T2. 0,5 = 20

    T2 = 20 N  T1 = 20 N

    T1 = T2 = 20 N

 

 

Modelo IV – Corpo suspenso por 2 fios ideais, conforme  a figura. Determine as trações T1 e T2.

 

Procedimento:

 

    1) Adote o sistema cartesiano e represente as forças peso (P) e a tração nos fios ( T1 e T2 ).

    2) Calcule a força peso.

    3) Faça as projeções das forças nos eixos x e y.

    4) Representem no sistema cartesiano as projeções.

    5) Corpo em equilíbrio: SFRX = 0 e SFRY= 0.

    6) Resolver o sistema de equações.

 

 

Resolução:

 

1) Representação das forças

2) P = m. g P = 2 .10 = 20 N

 

3) as projeções:

 

3a) T1

T1x = T1;

T1y = 0.

 

3b) T2.



 

  T2x = T2 cos30º;

  T2y = T2 sen 30º.

 

3c) P


       

Px = 0

Py = 20

 

 4) Representação das projeções.

5) Condições de equilíbrio:

 

5a) eixo x

     SFRX = 0

    T1x = T2x

    T1 = T2 cos30º

    T1 = .T 2          (I)

 

5b) eixo y

     SFRY= 0

    T2y = P

     T2 sen30º = 20    (II)

 

6) Resolução das equações.

Da equação II

 

0,5 T2 = 20
T2 = 20/0, 5 = 40 N.

T2 = 40N

 

Substituindo na equação I

T1 = . 40

T1 = .20 N

 

Modelo V – Corpo suspenso por 2 fios homogêneos de mesmo comprimento com ângulos iguais conforme a figura. Determine as trações T1 e T2 nos fios 1 e 2.  (cos37º = 0,8  e  sen37º = cos53º = 0,6)

 

 

Procedimento:

 

    1) Adote o sistema cartesiano e represente as forças peso (P) e a tração nos fios ( T1 e T2 ) .

    2) Calcule a força peso.

    3) Faça as projeções das forças nos eixos x e y.

    4) Representem no sistema cartesiano as projeções.

    5) Corpo em equilíbrio: SFRX = 0 e SFRY= 0.

    6) Resolver o sistema de equações.

 

Resolução:

 

1) Representação das forças

 

 

2) P = m. g   P =  2 . 10 = 20 N

 

 

3) as projeções:

 

3a) T1

 T1x = T1. cos53º

 

 T1y = T1. sen53º

 

 

3b) T2

 

 T2x = T2 .cos 37º

 

 T2y = T2.sen 37º

 

 

 

 

3c) P

 

 

 Px = 0

 

 Py = 20

 

 

4) Representem no sistema cartesiano as projeções.

 

 

 

5) Condições de equilíbrio     

 

5a)  

 

     SFRX = 0

 

           T1x = T2x

 

 

T1 cos53º = T2 cos37º

 

2)

 

Text Box:  
( 2)
 

 

T1. 0, 6      = T 2. 0, 8      (x 10)

 

 

6 T1 – 8 T2 = 0                 

 

3 T1 – 4 T2 = 0       (I)

 

 

5b)  

    SFRY= 0

 

T1y + T2y = Py

 

T1 sen53º + T2 sen 37º = 20

 

2)

 

Text Box:  
( 2)
 

 

0,8 T1 + 0,6 T2  = 20      ( x 10)

 

 

8 T1 + 6 T2 = 200        

 

4 T1 + 3 T2 = 100    (II)

 

 

6) Resolução das equações.

Pelo processo da adição:

     

 

T1 = 400/25 = 16N

 

Substituindo na equação II

 

T2 = 12 N

 

Temos:

 

T1 = 16 N

 

T2 = 12 N

 

Modelo VI - Determine o ângulo a e a reação normal . Dados: g = 10 m/s2, PA = 30N, PB = 60N e PC = 50N.

 

Procedimento:

1) Represente as forças peso (P), reação normal (N) e a tração nos fios ( T1 e T2 ) .

2) PA = T1, PC = T2.

3) Faça as projeções das forças nos eixos x e y.

4) Representem no sistema cartesiano as projeções.

5) Corpo em equilíbrio: SFRX = 0 e SFRY= 0.

6) Resolver o sistema de equações.

 

Resolução:

 

1) Representação das forças

 

2) T1 = 30 N e T2 = 50 N e PB = 60 N.

 

3) as projeções:

 

3a) T1

T1X = T1

T1Y = 0

 

3b) T2

 T2x = T2 .cosa

 

 T2y = T2.sena

 

3c) PB

 PBX = 0

 

 PBY = 60

 

3c)  N

NX = 0

 

NY = N

 

 

4) Representem no sistema cartesiano as projeções.

 

 

5) Condições de equilíbrio     

 

5a)

     SFRX = 0

 

           T1x = T2x

 

             T1 = T2cosa

 

            30 = 50cosa  (I)

5b)  

    SFRY= 0

 

            Ny + T2y = PBy

 

            N + 50.sena = 60 (II)

6) Resolução das equações.

Da equação I

 

30 = 50.cosa cosa =  = 0,6

 

a = 53º

 

Substituindo na equação II

 

N + 50.sen53º= 60 N = 70 – 50.sen53º  N = 60 – 50.0,8

 

N = 20 N

 

Portanto:

 

a = 53º

 

N = 20 N