ANÁLISE DIMENSIONAL

 

            Em Física todas as grandezas podem ser expressas em função das fundamentais, representadas dimensionalmente por meio de símbolos de dimensões.

            A seguir, estão relacionados os símbolos dimensionais das grandezas físicas fundamentais ou primitivas do S.I.

           

L

=

[comprimento]

T

=

[tempo]

M

=

[massa]

I

=

[intensidade de corrente elétrica]

N

=

[quantidade de matéria]

I O

=

[intensidade luminosa]

 

            OBS.:

a)      O símbolo dimensional de um número real é 1 (um);

b)      O símbolo dimensional do ângulo plano é 1 (um).

 

EQUAÇÃO DIMENSIONAL

 

            Toda grandeza física pode ser expressa, matematicamente, em função de outras grandezas físicas, através da equação dimensional.  

            É comum que se adote as grandezas fundamentais do S.I. para se escreverem as equações dimensionais. Assim, uma grandeza mecânica (X), que depende da massa, do comprimento e do tempo, tem sua equação dimensional escrita da seguinte forma.

 

[X] = Ma. Lb. Tc

           

OBS.: a, b, c representam dimensões das grandezas.

 

EXEMPLO: Determine a fórmula ou equação dimensional da velocidade escalar linear. (os símbolos dimensionais fundamentais do S.I.)

 

RESOLUÇÃO:      V =  

 

[V] =  =       [V] = L. T -1

 

EXERCÍCIOS.

 

Utilizando-se dos símbolos dimensionais das grandezas fundamentais do S.I., determine as fórmulas dimensionais.

 

1)      aceleração escalar linear ( a = )

2)      força ( F = m.a)

3)      energia cinética ( Ec = )

4)      trabalho ( F.d)

5)      quantidade de movimento ( Q = m.v)

6)      pressão (p = )

7)      área  ( A =  b. h )

8)      volume ( V = Ab . h)

9)      constante elástica (K = )

10)   quantidade de carga (q = i.t)

 

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

 

            Uma equação que traduz uma lei física é homogênea. Neste caso as parcelas constituem os dois membros da igualdade apresentam os mesmos símbolos dimensionais, tendo respectivamente as mesmas dimensões.

 

EXEMPLO: Verifique se há homogeneidade na equação definida da energia potencial gravitacional. (EP = m.g.h)

 

RESOLUÇÃO:

 

1º membro à [EP] = M. L2. T -2

2º membro à [mgh] = M. L. T -2 = M. L2. T -2

 

Fica assim demonstrada a homogeneidade dimensional de uma equação.

 

OBS.: A homogeneidade de uma equação é critério de verificação de sua validade, ou seja, é uma condição necessária, mas não suficiente para que uma equação seja correta.

 

EXERCÍCIOS. Verifique se há homogeneidade nas equações abaixo:

 

1)      S = S0 + v.t

2)      F = m.a

3)      E = m.c²

4)      S = S0 + v0 .t +

5)      V² = V0² + 2. a. t

 

TEOREMA DE BRIDGMAN

 

            Se, empiricamente, for constatado que uma determinada grandeza física X depende das grandezas A, B, C, ...., independente entre si, então X pode ser expressa da seguinte forma:

 

X = cte. Aa.Bb.Cc...

 

 cte. = fator puramente numérico, cujo valor é determinado mediante experiências.

 

EXEMPLO:

 

            Numa experiência, verifica-se que o período (T) de oscilação de um sistema corpo-mola depende somente da massa (m) do corpo e da constante elástica (K) da mola. Então, pelo Teorema de Bridgman:

 

T = cte. ma.kb

 

            Para se determinar a fórmula do período, aplica-se a análise dimensional:

 

[T] = [cte]. [m] a. [k]b

 

T = l. M a. (MT -²) b  

 

T = l. M a + b. T – 2b

 

temos;

 

 

Portanto:

 

            

 

ou    cte = 2p

 

EXERCÍCIOS

 

AD01) A força centrípeta depende da massa (m), da velocidade escalar (v) do objeto e do raio (R) da órbita do movimento. Determinar a equação de definição da mesma.

 

Fc = f(m, R, v)

 

AD02)  Sabe-se que o período de um pêndulo simples pode depender de seu comprimento (l), da massa (m) e da aceleração da gravidade (g) local. Determine a equação que relaciona as grandezas citadas, baseando-se em considerações dimensionais.

 

T = f (l,m, g)

 

AD03) Estudando um determinado fenômeno físico, um pesquisador conclui que a velocidade do objeto em estudo depende de certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento (l).

            Através da análise dimensional das grandezas citadas, determine uma possível expressão monômica para v = f(F, m, l).

AD04) Sabe-se que a velocidade de propagação de uma onda deve ser função da densidade (d) do meio, do módulo de Young ( E = força/ área) e da freqüência (f) do movimento ondulatório.

     Deduza, através da análise dimensional, a função.

           

                  V = f (d, E, f)

 

05AD) Um objeto esférico, de raio R, move-se  com velocidade v,através de um fluido de viscosidade h. Sabe-se que a força de atrito viscoso Fv depende de v,h, e R. O coeficiente de viscosidade h tem dimensão.

 

[h] = M.L. T

 

a)      Qual é a dimensão [F] da grandeza força?

b)      Utilize a análise dimensional para determinar a relação entre a força viscosa Fv e as variáveis R, h e v.

 

AD06) Em que unidade deverá ser medida, no SI, a grandeza k para que P seja medida em watts?

 

                                   P =

 

            Sendo v = velocidade, m = massa, L = comprimento e T = tempo.

 

 

AD07) Se as grandezas fundamentais são comprimento, massa e tempo, a grandeza mecânica X tem fórmula dimensional da forma: [X] = Lª.Mb.Tc. Então, assinale o conjunto incorreto.

X               a          b          c

            a) aceleração               1          0          -2

            b) força                       1          1          -2

            c) trabalho                   2          1          -2

            d) potência                  2          1          -3

            e) n.d.a

 

AD08) Qual das seguintes expressões é a fórmula dimensional da intensidade de força?

 

a) LM¹ T¹                           

b) Lº M¹ T¹                            

c) L¹ Mº T¹

d) L¹ M¹ T-2

e) L² M¹ Tº

 

AD09) Quais são as dimensões da constante da gravidade universal G em função das grandezas fundamentais do SI?

 

a)      M-1L3T-2

b)      M-1 L3 T2

c)      MLT 2

d)      ML-1 T-2

e)      n.d.a.

 

 

AD10) Na expressão , X  representa um distância ; v, uma velocidade; a. uma aceleração e k uma constante adimensional:

 

X = k

 

Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?

 

a)      1/3

b)      1/2

c)      1

d)      2

e)      3

 

AD11) Se watt e joule não tivessem sido adotados com nomes das unidades do SI, de potência e de trabalho, a unidade de potência poderia ser escrita do seguinte modo:

 

a)      Kg.m.s-2

b)      N.m.s-2

c)      N.m.s-1

d)      Kg.m-1

e)      N.m-2:s-2

 

AD12) (Unirio-RJ) Para o movimento de um corpo sólido em contato com o ar foi verificado experimentalmente que a intensidade da força de resistência F, é determinada pela expressão Fr = k . v², na qual v é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar, e k, uma constante.

A unidade de k, no Sistema Internacional (SI) é dada por:

 

a) kg . m -1 

b) kg . m

c) kg . m . s -1

d) kg . m  -1. s -2

e) kg . m² . s -2

 

AD13) (Mack - SP) Na equação dimensional homogênea x = a.t² - b.t³, em que x tem a dimensão de comprimento (L) e t tem (T), as dimensões a e b são, respectivamente:

 

            a) LT e LT-1

b) L²T³ e L-2T-3

c) LT-2 e L-3

d) L-2 e T-3

e) L² T³ e LT-3

 

AD14) (ITA-SP) Os valores  de x, y e z para que a equação: (força)x (massa)x = (volume) (energia) z seja dimensionalmente correta são, respectivamente:

a)      (-3, 0, 3)

b)      (-3, 0, -3)

c)      (3, -1, -3)

d)      (1, 2, -1)

e)      (1, 0, 1)

 

AD15) (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som, com a pressão P e a massa específica r (kg/m³), num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo va = , onde C é uma constante adimensional . Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes a e b são:

 

a)      a = 1 e b = 2

b)      a = 1 e b = 1

c)      a = 2 e b = 1

d)      a = 2 e b = 2

e)      a = 3 e b = 2

 

RESPOSTAS

 

AD01) Fcp =

AD02) T = cte

AD03) v = cte

AD04) v = cte

 

AD05)  a) F= MLT-2      , b) Fv = cte. Rhv

 

AD06) s²

 

AD07) E

 

AD08) D

 

AD09) A

 

AD10) D

 

AD11) C

 

AD12) A

 

AD13) C

 

AD14) B

 

AD15) C